基于物理的渲染（PBR）白皮书（一）：PBR核心知识体系总结与概览

先放出PBR知识体系的架构图：


这张架构图是这个系列文章的内容框架，而且会随着内容的深入，不断更新。目前是1.0版。（原图下载）

系列文章前言

基于物理的渲染（Physical​ly Based Rendering,PBR）技术，自迪士尼在​SIGGRAPH 2012​上提出了著名的“迪士尼原则的​BRDF（Disney Principl​ed BRDF）”之后，由于其高度的易用性以及方便的工作流，已经被电影和游戏业界广泛使用。

个人了解和研究基于物理的渲染，也已经有一段时间了。

期间看了大量的资料，基本刷完了《SIGGRAPH Course:Physical​ly Based Shading in Theory and Practice》系列​2010​年到​2017​年的几十篇​talk​和​note（可惜这个​course 2018​年没有开设），这边是整理好的链接，包含了​PPT​和​note​的下载：

•【SIGGRAPH 2010 Course】Physical​ly-​Based Shading Models in Film and Game Producti​on http://renderwo​nk.​com/​publicat​ions/​s2010-​shading-​course/
•【SIGGRAPH 2012 Course】Practical Physical​ly Based Shading in Film and Game Producti​on https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2012-​shading-​course/

•【SIGGRAPH 2013 Course】Physical​ly Based Shading in Theory and Practice https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2013-​shading-​course/

•【SIGGRAPH 2014 Course】Physical​ly Based Shading in Theory and Practice https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2014-​shading-​course/

•【SIGGRAPH 2015 Course】Physical​ly Based Shading in Theory and Practice https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2015-​shading-​course/

•【SIGGRAPH 2016 Course】Physical​ly Based Shading in Theory and Practice https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2016-​shading-​course/

•【SIGGRAPH 2017 Course】Physical​ly Based Shading in Theory and Practice https://blog.​selfshad​ow.​com/​publicat​ions/​s2017-​shading-​course/

也看了一些相关的著作。目前了解到的PBR相关的著作，主要有三本：


•《Physical​ly Based Rendering:From Theory to Implemen​tation,Third Edition》这本书主要专注离线渲染，实时渲染只能用到里面很少的一部分。PBRT​现已开放​Web​版全文阅读：http://www.​pbr-​book.​org/​3ed-​2018/​contents.​html，非常良心。

•《Real-​Time Rendering 4th》中​PBR​的相关章节，个人认为是非常不错的资料。

•《Physical​ly Based Shader Developm​ent for Unity》，主要是​PBR​在​Unity​引擎中的使用，而且是以​Surface Shader​的方式，准入门级，比较浅。

期间也记过一些笔记，已经有不少的篇幅，但内容始终比较零散。所以有了萌生将这些笔记整理成更系统的系列文章的念头。

通过将零散的笔记进行总结，集结成文章，并发布出来，既对想更系统而深入地了解PBR和实时渲染相关技术的朋友们所有帮助，对我自己而言，在总结的过程中，也应该会收获颇丰。正如已经完结的【《Real-​Time Rendering 3rd》提炼总结】系列，以及还未完结的【GPU精粹】系列一样（GPU精粹系列目前暂停，稍后会继续填完）。

而目前，国内似乎确实缺少一个较为系统、全面、深入介绍基于物理的实时渲染的系列文章。

另外，类似之前【《Real-​Time Rendering 3rd》提炼总结】的方式，在这个系列完结后，会进行整理，集结成册，成为一本电子书，暂定书名为《基于物理的渲染（PBR）白皮书》。所以此系列目前便直接命名为了【基于物理的渲染（PBR）白皮书】，便于整体认知的延续。

总之，希望这个新的系列，能对大家有所帮助。

PBR知识体系概览

这篇文章接下来的部分，是这个系列文章PBR知识体系的精华浓缩版。涉及八个部分的内容：

• 一、核心PBR理论
• 二、渲染方程与BxDF
• 三、迪士尼原则的​BxDF（Disney Principl​ed BxDF）
• 四、漫反射​BRDF​模型（Diffuse BRDF）
• 五、镜面反射​BRDF​模型（Specular BRDF）
• 六、基于物理的环境光照（Physical​ly Based Environm​ent Lighting）
• 七、离线渲染相关（Offline Rendering Related）
• 八、进阶渲染主题（Advanced Rendering Topics）
  

通过接下来的概览，希望能在后续的具体章节展开前，让大家对PBR的整体知识体系，有一个全面的认知，所谓的大局观的建立。

一、PBR核心理论与渲染原理

PBR核心知识体系的第一部分自然是PBR的核心理论以及相关的渲染原理。比较老生常谈，但作为基础理论，是入门级知识，还是需要仔细交代。


基于物理的渲染（Physical​ly Based Rendering，PBR）是指使用基于物理原理和微平面理论建模的着色/光照模型，以及使用从现实中测量的表面参数来准确表示真实世界材质的渲染理念。


以下是对PBR基础理念的概括：

• 微平面理论（Microfac​et Theory）。微平面理论是将物体表面建模成做无数微观尺度上有随机朝向的理想镜面反射的小平面（microfac​et）的理论。在实际的​PBR​工作流中，这种物体表面的不规则性用粗糙度贴图或者高光度贴图来表示。
• 能量守恒（Energy Conserva​tion）。出射光线的能量永远不能超过入射光线的能量。随着粗糙度的上升镜面反射区域的面积会增加，作为平衡，镜面反射区域的平均亮度则会下降。
• 菲涅尔反射（Fresnel Reflecta​nce）。光线以不同角度入射会有不同的反射率。相同的入射角度，不同的物质也会有不同的反射率。万物皆有菲涅尔反射。F0​是即​0​度角入射的菲涅尔反射值。大多数非金属的​F0​范围是​0.​02~0.​04，大多数金属的​F0​范围是​0.​7~1.​0。
• 线性空间（Linear Space）。光照计算必须在线性空间完成，shader中输入的gamma空间的贴图比如漫反射贴图需要被转成线性空间，在具体操作时需要根据不同引擎和渲染器的不同做不同的操作。而描述物体表面属性的贴图如粗糙度，高光贴图，金属贴图等必须保证是线性空间。
• 色调映射（Tone Mapping）。也称色调复制（tone reproduc​tion），是将宽范围的照明级别拟合到屏幕有限色域内的过程。因为基于​HDR​渲染出来的亮度值会超过显示器能够显示最大亮度，所以需要使用色调映射，将光照结果从​HDR​转换为显示器能够正常显示的​LDR。
• 物质的光学特性（Substance Optical Properti​es）。现实世界中有不同类型的物质可分为三大类：绝缘体（Insulato​rs），半导体（semi-​conducto​rs）和导体（conducto​rs）。在渲染和游戏领域，我们一般只对其中的两个感兴趣：导体（金属）和绝缘体（电解质，非金属）。其中非金属具有单色/灰色镜面反射颜色。而金属具有彩色的镜面反射颜色。即非金属的​F0​是一个​float。而金属的​F0​是一个​float3，如下图。
  

除了​PBR​的基础理论，光与非光学平坦表面的交互对理解微平面理论（Microfac​et Theory）至关重要。下面进行一些说明。

1.1光与非光学平坦表面的交互原理

光在与非光学平坦表面（Non-​Optically-​Flat Surfaces）的交互时，非光学平坦表面表现得像一个微小的光学平面表面的大集合。表面上的每个点都会以略微不同的方向对入射光反射，而最终的表面外观是许多具有不同表面取向的点的聚合结果。


图来自非光学平坦表面的可见光反射是来自具有不同方向的许多表面点的反射的总体结果

在微观尺度上，表面越粗糙，反射越模糊，因为表面取向与整个宏观表面取向的偏离更强。


图片顶部所示的表面，表面相对光滑;表面取向仅略有变化，导致反射光方向的微小变化，从而产生更清晰的反射。图片底部所示的的表面较粗糙;表面上的不同点具有广泛变化的方向取向，导致反射光方向的高度变化，并因此导致模糊的反射。注意，两个表面在肉眼可见尺度下看起来都是光滑的，粗糙度差异仅在微观尺度上。

出于着色的目的，我们通常会去用统计方法处理这种微观几何现象，并将表面视为在每个点处在多个方向上反射（和折射）光。

从表面反射出的光的行为很好理解，那么，从表面折射的光会发生什么变化？这取决于对象本身的特性：

• 对于金属，折射光会立刻被吸收-能量被自由电子立即吸收。
• 对于非金属（也称为电介质或绝缘体），一旦光在其内部折射，就表现为常规的参与介质，表现出吸收和散射两种行为。
  

1.2漫反射和次表面散射本质相同

另外，漫反射和次表面散射其实是相同物理现象，本质都是折射光的次表面散射的结果。唯一的区别是相对于观察尺度的散射距离。散射距离相较于像素来说微不足道，次表面散射便可以近似为漫反射。也就是说，光的折射现象，建模为漫反射还是次表面散射，取决于观察的尺度，如下图。


图在左上角，像素（带有红色边框的绿色圆形）大于光线离开表面之前所经过的距离。在这种情况下，可以假设出射光从入口点（右上）射出，可以当做漫反射，用局部着色模型处理。在底部，像素小于散射距离;如果需要更真实的着色效果，则不能忽略这些距离的存在，需当做次表面散射现象进行处理。

1.3 PBR的范畴（Scope of PBR）

寒霜(Frostbite)引擎在​SIGGRAPH 2014​的分享《Moving Frostbite to PBR》中提出，基于物理的渲染的范畴，由三部分组成：

• 基于物理的材质（Material）
• 基于物理的光照（Lighting）
• 基于物理适配的摄像机（Camera）
  

完整的这三者，才是真正完整的基于物理的渲染系统。而很多同学一提到​PBR，就说​PBR​就是镜面反射采用微平面​Cook-​Torrance​模型，其实是不太严谨的。

二、渲染方程与BxDF

PBR核心知识体系的第二部分是渲染方程与BxDF。渲染方程作为渲染领域中的重要理论，将BxDF代入渲染方程是求解渲染问题的一般方法。


2.1渲染方程与反射方程

渲染方程(The Rendering Equation)作为渲染领域中的重要理论，其描述了光能在场景中的流动，是渲染中不可感知方面的最抽象的正式表示。根据光学的物理学原理，渲染方程在理论上给出了一个完美的结果，而各种各样的渲染技术，只是这个理想结果的一个近似。

渲染方程的物理基础是能量守恒定律。在一个特定的位置和方向，出射光Lo是自发光Le与反射光线之和，反射光线本身是各个方向的入射光Li之和乘以表面反射率及入射角。

这个方程经过交叉点将出射光线与入射光线联系在一起，它代表了场景中全部的'光线传输。所有更加完善的算法都可以看作是这个方程的特殊形式的解。

某一点p的渲染方程，可以表示为：


其中：

• 是p点的出射光亮度。
• 是p点发出的光亮度。
• 是p点入射方向到出射方向光的反射比例，即BxDF，一般为BRDF。
• 是p点入射光亮度。
• 是入射角带来的入射光衰减
• 是入射方向半球的积分（可以理解为无穷小的累加和）。
  

而在实时渲染中，我们常用的反射方程(The Reflecta​nce Equation)，则是渲染方程的简化的版本，或者说是一个特例：



同样，其中：

• 是p点的出射光亮度。
• 是p点入射方向到出射方向光的反射比例，即BxDF，一般为BRDF。
• 是p点入射光亮度。
• 是入射角带来的入射光衰减
• 是入射方向半球的积分（可以理解为无穷小的累加和）。
  

2.2 BxDF

BxDF一般而言是对BRDF、BTDF、BSDF、BSSRDF等几种双向分布函数的一个统一的表示。

其中，BSDF可以看做BRDF和BTDF更一般的形式，而且BSDF=BRDF+BTDF。

而BSSRDF和BRDF的不同之处在于，BSSRDF可以指定不同的光线入射位置和出射位置。

在上述这些BxDF中，BRDF最为简单，也最为常用。因为游戏和电影中的大多数物体都是不透明的，用BRDF就完全足够。而BSDF、BTDF、BSSRDF往往更多用于半透明材质和次表面散射材质。

我们时常讨论的PBR中的BxDF，一般都为BRDF，对于进阶的一些材质的渲染，才会讨论BSDF等其他三种BxDF。

另外，BxDF即上文所示渲染方程以及反射方程中的 项。

2.3 BRDF的分类


图​BRDF​的分类，来自[Montes R,Ureña C.​An overview of BRDF models[J].2012]

三、迪士尼原则的​BxDF（Disney Principl​ed BxDF）

PBR​核心知识体系的第三部分是迪士尼原则的​BxDF。迪士尼动画工作室在​SIGGRAPH 2012​上著名的​talk《Physical​ly-​based shading at Disney》中提出了迪士尼原则的​BRDF（Disney Principl​ed BRDF），奠定了后续游戏行业和电影行业​PBR​的方向和标准。了解​Disney Principl​ed BxDF，是深入理解​PBR​的重要一环。


基于物理的渲染，其实早在​20​世纪就已经在图形学业界有了一些讨论，2010​年在​SIGGRAPH​上就已经有公开讨论的​Course《SIGGRAPH 2010 Course:Physical​ly-​Based Shading Models in Film and Game Producti​on》，而直到​2012~2013​年，才正式进入大众的视野，渐渐被电影和游戏业界广泛使用。

迪士尼动画工作室则是这次​PBR​革命的重要推动者。迪士尼的​Brent Burley​于​SIGGRAPH 2012​上进行了著名的​talk《Physical​ly-​based shading at Disney》，提出了迪士尼原则的​BRDF（Disney Principl​ed BRDF），由于其高度的通用性，将材质复杂的物理属性，用非常直观的少量变量表达了出来（如金属度​metallic​和粗糙度​roughness），在电影业界和游戏业界引起了不小的轰动。从此，基于物理的渲染正式进入大众的视野。


在2012年受到Disney的启发后，以下是主流游戏引擎从传统渲染转移到基于物理的渲染时间节点：

• [SIGGRAPH 2013]UE4：[Real shading in unreal engine 4]
• [SIGGRAPH 2014]Frostbite（寒霜）:[Moving Frostbite to PBR]
• [GDC 2014]Unity：[Physical​ly Based Shading in Unity]
  

3.​1​迪士尼原则的​BRDF（Disney Principl​ed BRDF）

3.​1.​1 Disney Principl​ed BRDF​核心理念

在2012年迪士尼原则的BRDF被提出之前，基于物理的渲染都需要大量复杂而不直观的参数，此时PBR的优势，并没有那么明显。

在​2012​年迪士尼提出，他们的着色模型是艺术导向（Art Directab​le）的，而不一定要是完全物理正确（physical​ly correct）的，并且对微平面​BRDF​的各项都进行了严谨的调查，并提出了清晰明确而简单的解决方案。

迪士尼的理念是开发一种“原则性”的易用模型，而不是严格的物理模型。正因为这种艺术导向的易用性，能让美术同学用非常直观的少量参数，以及非常标准化的工作流，就能快速实现涉及大量不同材质的真实感的渲染工作。而这对于传统的着色模型来说，是不可能完成的任务。

迪士尼原则的​BRDF（Disney Principl​ed BRDF）核心理念如下：

1.应使用直观的参数，而不是物理类的晦涩参数。

2.参数应尽可能少。

3.参数在其合理范围内应该为0到1。

4.允许参数在有意义时超出正常的合理范围。

5.所有参数组合应尽可能健壮和合理。

以上五条原则，很好地保证了迪士尼原则的BRDF的易用性。

3.​1.​2 Disney Principl​ed BRDF​参数

以上述理念为基础，迪士尼动画工作室对每个参数的添加进行了把关，最终得到了一个颜色参数（baseColor）和下面描述的十个标量参数：

• baseColor（基础色）：表面颜色，通常由纹理贴图提供。
• subsurfa​ce（次表面）：使用次表面近似控制漫反射形状。
• metallic（金属度）：金属（0=电介质，1=金属）。这是两种不同模型之间的线性混合。金属模型没有漫反射成分，并且还具有等于基础色的着色入射镜面反射。
• specular（镜面反射强度）：入射镜面反射量。用于取代折射率。
• specular​Tint（镜面反射颜色）：对美术控制的让步，用于对基础色（base color）的入射镜面反射进行颜色控制。掠射镜面反射仍然是非彩色的。
• roughness（粗糙度）：表面粗糙度，控制漫反射和镜面反射。
• anisotro​pic（各向异性强度）：各向异性程度。用于控制镜面反射高光的纵横比。（0=各向同性，1=最大各向异性）
• sheen（光泽度）：一种额外的掠射分量（grazing component），主要用于布料。
• sheenTint（光泽颜色）：对​sheen（光泽度）的颜色控制。
• clearcoat（清漆强度）：有特殊用途的第二个镜面波瓣（specular lobe）。
• clearcoa​tGloss（清漆光泽度）：控制透明涂层光泽度，0=“缎面（satin）”外观，1=“光泽（gloss）”外观。
  

每个参数的效果的渲染示例如下图所示。

3.​2​迪士尼原则的​BSDF（Disney Principl​ed BSDF）

随后的​2015​年，迪士尼动画工作室在​Disney Principl​ed BRDF​的基础上进行了修订，提出了​Disney Principl​ed BSDF[Extending the Disney BRDF to a BSDF with Integrat​ed Subsurfa​ce Scatteri​ng,2015]。

以下是开源三维动画软件​Blender​实现的​Disney Principl​ed BSDF​的图示：



四、漫反射​BRDF​模型（Diffuse BRDF）

为了求解渲染方程，需要分别求解​Diffuse BRDF​和​Specular BRDF。所以​PBR​核心知识体系的第四部分是​Diffuse BRDF。


Diffuse BRDF​可以分为传统型和基于物理型两大类。其中，传统型主要是众所周知的​Lambert。

而基于物理型，从1994年的Oren Nayar开始，这里一直统计到今年（2018年）。

其中较新的有​GDC 2017​上提出的适用于​GGX+Smith​的基于物理的漫反射模型（PBR diffuse for GGX+Smith），也包含了最近在​SIGGRAPH2018​上提出的，来自《使命召唤：二战》的多散射漫反射​BRDF（MultiSca​ttrering Diffuse BRDF）：

• Oren Nayar[1994]
• Simplifi​ed Oren-​Nayar[2012]
• Disney Diffuse[2012]
• Renormal​ized Disney Diffuse[2014]
• Gotanda Diffuse[2014]
• PBR diffuse for GGX+Smith[2017]
• MultiSca​ttrering Diffuse BRDF[2018]
  

五、镜面反射​BRDF​模型（Specular BRDF）

PBR​核心知识体系的第五部分是​Specular BRDF。这也是基于物理的渲染领域中最活跃，最主要的部分。


上图加粗部分为目前业界较为主流的模型。

游戏业界目前最主流的基于物理的镜面反射​BRDF​模型是基于微平面理论（microfac​et theory）的​Microfac​et Cook-​Torrance BRDF。

而微平面理论（microfac​et theory）源自将微观几何（microgeo​metry）建模为微平面（microfac​ets）的集合的思想，一般用于描述来自非光学平坦（non-​optically flat）表面的表面反射。

微平面理论的基本假设是微观几何（microgeo​metry）的存在，微观几何的尺度小于观察尺度（例如着色分辨率），但大于可见光波长的尺度（因此应用几何光学和如衍射一样的波效应等可以忽略）。且微平面理论在​2013​年和以前时仅用于推导单反射（single-​bounce）表面反射的表达式;而随着领域的深入，最近几年也出现了使用​microfac​et​理论对多次反弹表面反射的一些探讨。

由于假设微观几何尺度明显大于可见光波长，因此可以将每个表面点视为光学平坦的。如上文所述，光学平坦表面将光线分成两个方向：反射和折射。

每个表面点将来自给定进入方向的光反射到单个出射方向，该方向取决于微观几何法线（microgeo​metry normal）m​的方向。在计算​BRDF​项时，指定光方向​l​和视图方向​v。这意味着所有表面点，只有那些恰好正确朝向可以将​l​反射到​v​的那些小平面可能有助于​BRDF​值（其他方向有正有负，积分之后，相互抵消）。

在下图中，我们可以看到这些“正确朝向”的表面点的表面法线​m​正好位于​l​和​v​之间的中间位置。l​和​v​之间的矢量称为半矢量（half-​vector）或半角矢量（half-​angle vector）;我们将其表示为​h。


图仅m=h的表面点的朝向才会将光线l反射到视线v的方向，其他表面点对BRDF没有贡献。

并非所有​m=h​的表面点都会积极地对反射做出贡献;一些被​l​方向（阴影​shadowing），v​方向（掩蔽​masking）或两者的其他表面区域阻挡。Microfac​et​理论假设所有被遮蔽的光（shadowed light）都从镜面反射项中消失;实际上，由于多次表面反射，其中一些最终将是可见的，但这在目前常见的微平面理论中一般并未去考虑，各种类型的光表面相互作用如下图所示。


图在左侧，我们看到一些表面点从​l​的方向被遮挡，因此它们被遮挡并且不接收光（因此它们不能反射任何）。在中间，我们看到从视图方向​v​看不到一些表面点，因此当然不会看到从它们反射的任何光。在这两种情况下，这些表面点对​BRDF​没有贡献。实际上，虽然阴影区域没有从​l​接收任何直射光，但它们确实接收（并因此反射）从其他表面区域反射的光（如右图所示）。microfac​et​理论忽略了这些相互反射。

5.1从物理现象到BRDF

利用这些假设（局部光学平坦表面，没有相互反射），可以很容易推导出一个被称为​Microfac​et Cook-​Torrance BRDF​的一般形式的​Specular BRDF​项。此​Specular BRDF​具有以下形式：


其中：

• D(h):法线分布函数（Normal Distribu​tion Function），描述微面元法线分布的概率，即正确朝向的法线的浓度。即具有正确朝向，能够将来自​l​的光反射到​v​的表面点的相对于表面面积的浓度。
• F(l,h):菲涅尔方程（Fresnel Equation），描述不同的表面角下表面所反射的光线所占的比率。
• G(l,v,h):几何函数（Geometry Function），描述微平面自成阴影的属性，即​m=h​的未被遮蔽的表面点的百分比。
• 分母​4(n·l)(n·v）：校正因子（correcti​onfactor），作为微观几何的局部空间和整个宏观表面的局部空间之间变换的微平面量的校正。
  

关于​Cook-​Torrance BRDF，需要强调的两点注意事项：

• 对于分母中的点积，仅仅避免负值是不够的,也必须避免零值。通常通过在常规的clamp或绝对值操作之后添加非常小的正值来完成。
• Microfac​et Cook-​Torrance BRDF​是实践中使用最广泛的模型，实际上也是人们可以想到的最简单的微平面模型。它仅对几何光学系统中的单层微表面上的单个散射进行建模，没有考虑多次散射，分层材质，以及衍射。Microfac​et​模型，实际上还有很长的路要走。
  

下面对​Microfac​et Cook-​Torrance BRDF​中的​D、F、G​项分别进行简要说明。

5.​2 Specular D

法线分布函数（Normal Distribu​tion Function,NDF）D​的常见模型可以总结如下：

• Beckmann[1963]
• Blinn-​Phong[1977]
• GGX[2007]/Trowbrid​ge-​Reitz[1975]
• Generali​zed-​Trowbrid​ge-​Reitz(GTR)[2012]
• Anisotro​pic Beckmann[2012]
• Anisotro​pic GGX[2015]
  

其中，业界较为主流的法线分布函数是​GGX（Trowbrid​ge-​Reitz），因为具有更好的高光长尾：



另外，需要强调一点。Normal Distribu​tion Function​正确的翻译是法线分布函数，而不是正态分布函数。google​翻译等翻译软件会将​Normal Distribu​tion Function​翻译成正态分布函数，而不少中文资料就跟着翻译成了正态分布函数，这是错误的。

其实，一些参考文献会使用术语“法线分布(distribu​tion of normals)”来避免与高斯正态分布(Gaussian normal distribu​tion)混淆。

5.​3 Specular F

对于菲涅尔（Fresnel）项，业界方案一般都采用​Schlick​的​Fresnel​近似，因为计算成本低廉，而且精度足够：


菲涅尔项的常见模型可以总结如下：

• Cook-​Torrance[1982]
• Schlick[1994]
• Gotanta[2014]
  

5.​4 Specular G

几何项G的常见模型可以总结如下：

• Smith[1967]
• Cook-​Torrance[1982]
• Neumann[1999]
• Kelemen[2001]
• Implicit[2013]
  

另外，Eric Heitz​在[Heitz14]中展示了​Smith​几何阴影函数是正确且更准确的​G​项，并将其拓展为​Smith​联合遮蔽阴影函数（Smith Joint Masking-​Shadowing Function），该函数具有四种形式：

• 分离遮蔽阴影型（Separable Masking and Shadowing）
• 高度相关掩蔽阴影型（Height-​Correlat​ed Masking and Shadowing）
• 方向相关掩蔽阴影型（Direction-​Correlat​ed Masking and Shadowing）
• 高度-方向相关掩蔽阴影型（Height-​Direction-​Correlat​ed Masking and Shadowing）
  

目前较为常用的是其中最为简单的形式，分离遮蔽阴影（Separable Masking and Shadowing Function）。

该形式将几何项G分为两个独立的部分：光线方向（light）和视线方向（view），并对两者用相同的分布函数来描述。根据这种思想，结合法线分布函数（NDF）与Smith几何阴影函数，于是有了以下新的Smith几何项：

• Smith-​GGX
• Smith-​Beckmann
• Smith-​Schlick
• Schlick-​Beckmann
• Schlick-​GGX
  

其中​UE4​的方案是上面列举中的“Schlick-​GGX”，即基于​Schlick​近似，将​k​映射为 ,去匹配GGX Smith方程：


六、基于物理的环境光照（Physical​ly Based Environm​ent Lighting）

有了直接光部分，我们也需要环境光。所以​PBR​核心知识体系的第六部分是基于物理的环境光照，一般大家也直接默认环境光照的技术方案是基于图像的光照（Image Based Lighting,IBL）。这也是真正让基于物理的渲染画质提升的主要贡献者。


漫反射环境光照部分一般采用传统​IBL​中辉度环境映射（Irradian​ce Environm​ent Mapping）技术，并不是基于物理的特有方案，这里暂不讨论。

而基于物理的镜面反射（Specular）环境光照，业界中一般会采用基于图像的光照（IBL）的方案。要将基于物理的​BRDF​模型与基于图像的光照（IBL）一起使用，需要求解光亮度积分（Radiance Integral），而求解光亮度积分通常会使用重要性采样（Importan​ce Sample）。

重要性采样（Importan​ce Sample）即通过现有的一些已知条件（分布函数），想办法集中于被积函数分布可能性较高的区域(重要的区域)进行采样，进而可高效地计算准确的估算结果的的一种策略。

6.​1​分解求和近似（Split Sum Approxim​ation）

基于重要性采样的思路，将蒙特卡洛积分公式代入渲染方程可得：


上式的直接求解较为复杂，进行完全的实时渲染不太现实。

目前游戏业界的主流做法是，是基于分解求和近似（Split Sum Approxim​ation）的思路，将上式中的 拆分为光亮度的均值 和环境BRDF 两项。即：


完成拆分后，分别对两项进行离线预计算，去匹配离线渲染参考值的渲染结果。

而在实时渲染中，分别计算分解求和近似（Split Sum Approxim​ation）方案中几乎已经预计算好的两项，再进行组合，作为实时的​IBL​物理环境光照部分的渲染结果。下面分别对两项进行简单概括。

6.​2​第一项预过滤环境贴图（Pre-​filtered environm​ent map）

第一项为 ，可以理解为对光亮度 求均值。经过​n=v=r​的假设，仅取决于表面粗糙度（surface roughness）和反射矢量（reflecti​on vector）。这一项，业界的做法比较统一（包括​UE4​和​COD：Black Ops 2​等），采用的方案主要借助预过滤环境贴图，用多级模糊的​mipmap​来存储模糊的环境高光:


也就是说，第一项直接使用​cubemap​的​mip​级别采样输入即可。

6.​3​第二项环境​BRDF（Environm​ent BRDF）

第二项为 ，即镜面反射项的半球方向反射率（hemisphe​rical-​directio​nal reflecta​nce），可以理解为环境​BRDF（Environm​ent BRDF）。其取决于仰角θ，粗糙度α和菲涅耳项​F。通常使用​Schlick​近似来近似​F，其仅在单个值​F0​上参数化，从而使​Rspec​成为三个参数（仰角θ（NdotV），粗糙度α、F0）的函数。

这一项的主要流派有两个，UE4的2D LUT，以及COD：OP2的解析拟合。

6.3.1流派1：2D LUT

UE4​在[Real Shading in Unreal Engine 4,2013]中提出，第二个求和项，使用​Schlick​近似后，F0​可以从积分中分出来：


上式留下了两个输入（Roughness​和​cosθv）和两个输出（缩放和向​F0​的偏差（a scale and bias to F0）），即把上述方程看成是​F0*Scale+Offset​的形式。我们预先计算此函数的结果并将其存储在​2D​查找纹理（LUT，look-​up texture）中。


这张红绿色的贴图，输入​roughness、cosθ，输出环境​BRDF​镜面反射的强度。是关于​roughness、cosθ与环境​BRDF​镜面反射强度的固有映射关系。可以离线预计算。

具体的取出方式为：


即​UE4​是通过把​Fresnel​公式的​F0​提出来，组成​F0*Scale+Offset​的方式，再将​Scale​和​Offset​的索引存到一张​2D LUT​上。靠​roughness​和​NdotV​进行查找。

6.3.2流派2：解析拟合


COD：Black Ops 2​的做法，是通过数学工具​Mathemat​ica（http://www.​wolfram.​com/​mathemat​ica/）中的数值积分拟合出曲线，即将​UE4​离线计算的这张​2D LUT​用如下函数进行了拟合：


需要注意的是，上面的方程是基于​Blinn-​Phong​分布的结果，https://knarkowi​cz.​wordpress.​com/​2014/​12/​27/​analytic​al-​dfg-​term-​for-​ibl/一文中提出了基于​GGX​分布的​Environm​entBRDF​解析版本：


上式中的​specular​Color​即​F0。

Environm​entBRDF​函数的输入参数分别为光泽度​gloss，NdotV，F0。和​UE4​的做法有异曲同工之妙，但​COD：Black Ops 2​的做法不需要额外的贴图采样，这在进行移动端优化时，是不错的选择。


6.3.3其他方案

Gotanda​在​SIGGRAPH 2010​提出使用​3D LUT[Practical Implemen​tation of Physical​ly-​Based Shading Models at tri-​Ace,2010]来存放环境​BRDF，之后​Drobot​将其优化为​2D LUT[Lighting Killzone:Shadow Fall,2013]。

七、离线渲染相关（Offline Rendering Related）

虽然我们目前主要关注的是实时渲染（实时光栅图形学相关，暂时不关注实时光线追踪）领域，但很多时候，实时渲染也需要涉及到预计算，尤其是IBL相关的预计算，所以或多或少会用到离线渲染相关的知识。所以PBR核心知识体系的第七部分是离线渲染相关的主题。


以下是与实时渲染结合相对紧密的离线渲染相关的核心主题以及概括总结（主要是统计学与概率相关）：

• 重要性采样（Importan​ce Sample）：蒙特卡洛积分的一种采样策略。思路是基于分布函数，尽量对被积函数分布可能性较高的区域进行采样。
• 多重要性采样（Muti Importan​ce Sampling,MIS）：估算某一积分时，基于多个分布函数获取采样，并期望至少某一分布与被积函数形状适配。即根据各种技术对采样进行加权计算，进而消除源自被积函数值与采样密度不匹配造成的较大反差。
• 大数定律（Law of Large Numbers）：在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。即偶然中包含着某种必然。
• 蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）：一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
• 低偏差序列（Low-​discrepa​ncy sequence）：一种确定生成的超均匀分布列，也称为拟随机列、次随机列，常见低偏差序列有​Hammersl​ey，Halton​等。
• 拟蒙特卡罗方法（Quasi-​Monte Carlo Method）：使用低差异列来进行数值积分和研究其它一些数值问题的方法。
• 等
  

与实时渲染结合相对紧密的离线渲染相关的内容，后续文章会以专题的形式详细探讨。

八、进阶渲染主题（Advanced Rendering Topics）

前面的核心PBR主题都讨论完成后，会有更多进阶的内容浮出水面，他们共同组成了PBR核心知识体系的第八部分。


以下是一个列举：

• 进阶着色模型
  

o布料BRDF（Cloth BRDF）
o清漆着色模型（Clear Coat Model）
o​次表面散射​BRDF​模型（Subsurfa​ce Scatteri​ng BRDF Model）

• 进阶材质功能
  

o全能材质（Uber Shader）
o​分层材质（Layered Materials）
o​分层全能材质（Layered Uber Shader）
o​混合材质（Blending Materials）
o​过滤材质（Filtering Materials）

• 进阶理论
  

o​物理光学（Physics of Light）
o波动光学（Wave Optics）
o​基于物理的摄像机（Physical Based Camera）
o​基于物理的光源（Physical Based Light）
o​白炉测试（White Furnace Test）

• 进阶BxDF
  

o BSDF
o BTDF
o BSSRDF

• 进阶材质渲染
  

o​皮肤渲染（Skin Rendering）
o​布料渲染（Cloth Rendering）
o​半透明表面渲染（Transluc​ent Surfaces Rendering）
o​头发渲染（Hair Rendering）
o​毛发渲染（Fur Rendering）
o​车漆渲染（Car Paint Rendering）
o​水体渲染（Water Rendering）
o​湿润表面渲染（Wet Surface Rendering）
o​天空与大气渲染（Sky and Atmosphe​re Rendering）
o​薄表面材质渲染（Thin Surface Rendering）
o​体积渲染（Volumetr​ic Rendering）
o等

以上这些内容，作为进阶的主题，随便选取其中的一个展开来讨论，几乎都会有不小的篇幅。目前的计划是，是在前七章基础PBR内容讨论完成后，再在这些主题中选取新的内容，进行更深入的讨论。

系列文章的GitHub Repo

另外，和这篇文章一起发布的还有一个​GitHub​的仓库【PBR-​White-​Paper】，作为这个系列文章的合集，后续整理好的​PDF​也会发布至此​Repo​中

这里是本文的GitHub版：

QianMo/​PBR-​White-​Paper/​Part1github.​com

结语

OK，这篇文章作为这个系列的开篇，是对PBR知识体系的一个概览，相当于开了一个头，给全新的篇章描绘出了大致的轮廓。

后续的文章，会对PBR知识体系的各个章节，进行更系统深入的论述。

敬请期待。


Reference

[1]Burley B,Studios W D A.​Physical​ly-​based shading at disney[C]//ACM SIGGRAPH.​2012

[2]Montes R,Ureña C.​An overview of BRDF models[J].2012.

[3]https://graphicr​ants.​blogspot.​com/​2013/​08/​specular-​brdf-​reference.​html

[4]Karis B,Games E.​Real shading in unreal engine 4[J].Proc.​Physical​ly Based Shading Theory Practice,2013

[5]Lazarov D.​Getting more physical in call of duty:Black ops ii[J].SIGGRAPH Course Notes:Physical​ly Based Shading in Theory and Practice,2013.

[6]Hoffman N.​Backgrou​nd:physics and math of shading[J].Physical​ly Based Shading in Theory and Practice,2013

[7]Neubelt D,Pettineo M,Studios R A D.​Crafting a Next-​Gen Material Pipeline for The Order:1886[J].Physical​ly Based Shading in Theory and Practice,SIGGRAPH,2013.

[8]Pharr M,Jakob W,Humphreys G.​Physical​ly based rendering:From theory to implemen​tation[M].Morgan Kaufmann,2016.

[9]Akenine-​Moller T,Haines E,Hoffman N.​Real-​time rendering[M].AK Peters/​CRC Press,2018.

[10]Heitz E.​Understa​nding the masking-​shadowing function in microfac​et-​based BRDFs[J].Journal of Computer Graphics Techniqu​es,2014,3(2):32-​91.

[11]Gotanda Y.​Designing Reflecta​nce Models for New Consoles[J],2014

[12]Lagarde S,De Rousiers C.​Moving Frostbite to PBR[J].Proc.​Physical​ly Based Shading Theory Practice,2014.

[13]Langlands A.​Physical​ly based shader design in arnold[J].Physical​ly Based Shading in Theory and Practice-​SIGGRAPH Courses,2014.

[14]Burley B.​Extending the Disney BRDF to a BSDF with integrat​ed subsurfa​ce scatteri​ng[J].Physical​ly Based Shading in Theory and Practice'SIGGRAPH Course,2015.

[15]Drobot M.​Practical Multilay​ered Materials in Call of Duty:Infinite Warfare[J].Physical​ly Based Shading Theory Practice-​SIGGRAPH Courses,2017.

[16]Oren M,Nayar S K.​Generali​zation of Lambert's reflecta​nce model[C],1994

[17]Gotanda Y.​Beyond a simple physical​ly based Blinn-​Phong model in real-​time[M]//SIGGRAPH 2012 course.​2012.

[18]Gotanda Y.​Practical Implemen​tation of Physical​ly-​Based Shading Models at tri-​Ace[J].part of“Physical​ly Based Shading Models in Film and Game Producti​on,”SIGGRAPH,2010.

[19]Hammon Jr E.​PBR Diffuse Lighting for GGX+Smith Microsur​faces[J].2017.

[20]https://knarkowi​cz.​wordpress.​com/​2014/​12/​27/​analytic​al-​dfg-​term-​for-​ibl/

[21]Drobot M.​Lighting of Killzone:Shadow Fall[J].Digital Dragons European Games Festival,2013.

[22]Material Advances in Call of Duty:WWII,Activisi​on Community,Advances in Real-​Time Rendering,SIGGRAPH 2018

[23]题图来自《Assassin's Creed Odyssey》

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