关于公式的一些思路：目的比手段更重要。

2017-01-05

最近关于数值公式的文章挺多的，我也随笔分享一点东西，仅代表个人见解，不喜勿喷。

坊间流传的反推数值，应该指的是从一款游戏的数据和系统中猜想公式、推到验证、分析设计意图、进而学习设计思想的过程。这个过程很有必要，因为在没有参考资料的情况下，这是最有效且可执行的手段。不过值得注意的是，普遍情况下，完成这个过程并不是终点，自认为洞悉了作者的设计思路，也许并非如此。我们往往从结果得到的是另外一个结果，其实我们需要的是原因，也就是为什么会出现这个结果。

今天主要谈的是暴雪的防御公式：

减伤 = 护甲 / （护甲 + f（lv））

这个公式在WOW的60时代，实际数据是：

减伤 = 护甲 / （护甲 + 400 + 85×攻击者等级）

关于暴雪的这套东西有太多的推导和分析了，比较典型的是1点护甲价值恒定、成长线性、有效控制减伤比上限等等，再高端一些的也有用高等数学知识进行演绎的。其实说的都对，得到的结论也很正确，不过暴雪在最初是通过反推设计出这个公式的么？这个公式为什么是这样？为什么是400、85，怎么得到的？在完成反推之后，要继续追溯结果的上层，进行正推。

下面尝试性地“正推”一下暴雪的减伤公式，试图还原“正常”的思路：

假设A、B是对战双方，使用 HP×DPS/（1 - 减伤）来表示某一方的战斗能力，

其中 HP / (1 - 减伤) 表示生存能力，用大众说法它叫有效生命。（不考虑招架、闪避等高级属性）

用EHP（effective）表示有效生命，即：

EHP = HP × 1/（1 – 减伤） = HP×f（护甲）

对于EHP，设计者会想，护甲变化带来的收益效率是恒定的，也就是增加1点护甲，EHP变化是常数。（如果体验需求是护甲的收益效率先递增到某个值之后再衰减，怎么办？）

解决连续变化的最好工具就是微分方程，这里用最简单的一阶微分方程应该就可以求解，试一下。

设定 d（EHP）/d（护甲） = a×HP，含义是护甲每变化单位量，EHP增加a×HP，其中a是个常数。

解这个一阶微分方程，很容易得到

EHP =HP×（a×护甲 +C）（C是常数）

即：

减伤 = 1 – 1/（a×护甲 + C）

由于初值护甲 =0时，减伤必然为0，所以得到C = 1

于是无意间地得到了这样一个东西：

减伤 = 1 – 1/（a×护甲+1）

至此，完成第一个设计目标：护甲变化对EHP的影响是效率恒定的。

不过游戏中存在等级的设定，而且希望玩家在面对高等级敌人的时候，要想达到相同的减伤效果，需要积累更高的护甲，这样一来，既能保证玩家在一个等级的横向维度上有良好的成长感受，同时也能保证纵向维度的数值追求，最关键的是为了自然合理，低等级的角色就应该经不住高等级怪物的碾压。

为了让攻击者的等级能影响减伤效果，常识性地把用f（lv）来替换a ，（f（lv）是关于lv的函数，lv是攻击者等级）。

于是有：减伤 = 1-1/（f（lv）×护甲+1）因为护甲每增加单位量，EHP变化 = HP×f（lv）

按常理推测，f（lv）一定是小于1的值，除非我们希望护甲增加1点EHP就翻倍。前面提到过，我们希望攻击者等级高的时候，EHP的变化效率要降低，也就是说lv增加时，f（lv）要减少，前期降低明显，后期趋于稳定。那么什么函数模型会满足这个假设呢？

对的，是 f（x）=1/x

构造通式得到：f（lv） = 1/（a×lv+b）

如何求式中的a和b呢？这个就是开篇提到的400、85如何获取的问题。

任何游戏都要设定版本的数值目标，WOW也不例外，因为是60级版本，所以我们设定2个极值：

（1，A）（60，B），A和B是版本内玩家在某种状态下的天花板数值，通过减伤 = 1-1/（f（lv）×护甲+1）来假设玩家状态和天花板数值，比如当 f（lv）×护甲 =1 时，减伤 =50%，当玩家在这个状态下，假定面对60级攻击者时，需要5500点护甲，那么f（60）=5500；假定面对0级攻击者时，需要400点护甲，那么f（0）=400；很容易得到a=85，b=400 。

至此，得到：