什么是“非线性叠加”？线性又是哪条线？

都说游戏玩的开心最重要。有些玩家，玩游戏的目的是为了满足社交需求，大家玩、他也跟着一起玩，最后搞得大家都很快乐；而有些玩家则不同，他们是为了满足自己、在游戏中有更高的追求。

这些玩家，他们追求更加合理的过关方式，更加正确的操作方法，更加准确的成功几率，以及更加精准的数据分析。

在日益复杂的游戏系统当中，开发商已经不满足于简单的加减法公式，用攻击力减去防御力的方法已经过时，愈来愈多的增益效果（BUFF）和减益效果（DEBUFF）被添加到游戏当中，越来越多的数字参与到伤害计算过程里，游戏的机制也变得越来越复杂……

当一个个增益效果在头上亮起的时候，你使出浑身解数，一刀劈在怪物头上，打出了99999点伤害！可你知道，这些增益效果到底为你增加了多少伤害，而哪些增益效果比较厉害，哪些增益效果其实只占据了很小一部分？

云玩家Hotspot的上一篇科普文章《什么是“随机”？教你分清“伪随机”和“真随机”》为大家科普了伪随机和真随机的区别，今天就来科普一下什么是“线性叠加”和“非线性叠加”。

简单易懂的“线性叠加”

当多个增益效果叠加在一起时，我们通常会使用“线性叠加”、“非线性叠加”来描述这些增益效果的叠加方式。

在谈及“非线性叠加”之前，让我们好好了解一下相对更简单、更容易理解的“线性叠加”。

所谓“线性叠加”（Linear Superposition），即是指两个变量之间的关系遵从一次函数关系——而一次函数，也就是直线，在数学上可以理解为“一阶导数为常数的函数”。“线性叠加”，也就是指“遵从直线的叠加方式”。在计算过程中，每次数值的叠加都会增加相同比例的量，譬如买一个橘子用三块钱，买十个橘子就要用三十块钱。


一般来讲，游戏中的“线性叠加”，指的就是“加法叠算”。比如一个角色的攻击力为100点，路过的圣骑士为他施加了一个王者祝福，假设这个王者祝福的增益是线性叠加，令他获得了20%的攻击力提升，那么这个角色的攻击力就变为100+（100*0.2）=120点攻击力。

此时又路过了一个假面骑士，为他施加了一个王者祝福2，令他获得了30%的攻击力提升，那么这个角色的攻击力就变为100+（100*0.2）+（100*0.3）=150点攻击力。

举个例子来说，《Fate/Grand Order》（《命运-冠位指定》）的所有增益、减益效果都是线性叠加的。如果你为一名英灵叠加了两层50%的攻击力加成，那么这名英灵造成的伤害就翻倍；而如果一名英灵获得了两层50%的受伤减免，那么这名英灵的受伤减免将叠加至惊人的100%，也就是我们常说的：无敌！（这个无敌甚至不能被无敌贯通，真是太无敌了）


而《Fate/Grand Order》中常见的低星英灵过高难本也正是依赖于“线性叠加”的机制，使用阿斯忒里俄斯（小牛）的宝具降低BOSS的攻击力、使用布狄卡的宝具提升防御力等等操作，尽可能地使己方英灵达成“伪无敌”（减伤叠加至100%）的效果，免除BOSS对其造成的伤害。

“非线性叠加”是怎么叠加的？

在理解了“线性叠加”以后，“非线性叠加”的意义就跃然纸上了。

从概念上来说，“非线性叠加”（Non-Linear Superposition）当然是指并非一次的函数关系——图像不是直线，变量不成正比。譬如，买一个橘子用三块钱，买十个橘子时，老板说：算你批发价，十个橘子只用二十五块。那么平均下来，你买一个橘子只用了两块五，低于一个橘子的单价三块钱。对“十个橘子”的叠加态而言，每个橘子的叠加价格变少了，这就是一种“非线性”。

大部分游戏中的“非线性叠加”相对来说更加容易理解一些。如果有部分数值声明是“非线性叠加”的，那么通常来说，这些数值是相互独立的。与“线性叠加”相对的，“非限定叠加”的部分通常是“乘法叠算”。

还是拿数值最好理解、最好研究的两款相似的游戏《Dota2》和《英雄联盟》来说。在《英雄联盟》中，所有英雄都有“暴击几率”这个属性，而购买“绿叉”、“电刀”、“无尽”等装备将会为英雄叠加暴击几率。


在《英雄联盟》中，“暴击几率”是“线性叠加”的。绿叉提供30%暴击，无尽提供25%暴击。很容易理解，如果一个英雄同时装备绿叉和无尽，那么他的暴击几率将会叠加至30%+25%=55%。

而在《Dota2》中，“暴击率”是“非线性叠加”的。譬如幻影刺客的大招“恩赐解脱”拥有15%几率造成200%/325%/450%伤害，而道具“代达罗斯之殇”提供30%几率造成235%伤害。在“非线性叠加”的情况下，幻影刺客装备代达罗斯之殇进行一次普通攻击时，将会分别对“恩赐解脱”和“代达罗斯之殇”的暴击几率进行一次独立计算。


也就是说，幻影刺客的一次普通攻击将会发生四种情况：1.触发“恩赐解脱”的暴击、没有触发“代达罗斯之殇”；2.触发“代达罗斯之殇”的暴击、没有触发“恩赐解脱”；3.同时触发“恩赐解脱”和“代达罗斯之殇”的暴击；4.没有触发“恩赐解脱”和“代达罗斯之殇”任何一方的暴击。

显而易见，前3种情况都能算作触发暴击，而没有触发暴击的只有第4种。也就是说，幻影刺客的暴击率被提升至了P(A)=1-(1-0.15)*(1-0.3)=40.5%。

（题外话，4种情况中，其中1和2的情况比较好理解，各自发生了一次200%/325%/450%倍率和235%倍率的暴击。而3的情况，同时触发两种暴击时，会采用倍率较高的那一方来计算这次暴击。也就是说，PA出大炮的收益并非简单使用暴击概率模型就能推算得出。具体的收益算法我们今后有空再来分析。）

到了这一步，就能很清楚地看出，幻影刺客的暴击率并非简单的15%+30%=45%，而是更低的40.5%。代达罗斯之殇所提供的暴击率实际上被“稀释”了，并没有发挥出它应有的30%效果。

在船长“昆卡”的水刀还没被削弱之前，中单船长通常堆叠2~3件代达罗斯之殇作为暴击输出装备。2件代达罗斯之殇“非线性叠加”的暴击率为51%（亏损9%），3件代达罗斯之殇“非线性叠加”的暴击率为65.7%（亏损24.3%）。所以到了版本末期，船长很少补出第三把大炮，而是转出狂战斧、辉耀、圣剑等其他属性的装备作为伤害补偿。

（顺带一提，类似船长的水刀、狂战斧的溅射、猛犸的授予力量等一系列“分裂”效果，是线性叠加的，也就是可以简单地做加法计算。）

不仅暴击率如此，闪避率也是如此。

幻影刺客（为什么每次谈及数值的话题总能用上这个神奇的女人？）的被动“魅影无形”满级时能够提供50%闪避几率，道具“蝴蝶”提供35%闪避几率，在被普通攻击命中时，需要独立计算双方各自的闪避——同样的，幻影刺客的闪避几率被提升至P(B)=1-(1-0.5)*(1-0.35)=67.5%，蝴蝶提供的35%闪避被“稀释”到了17.5%，几乎亏损了一半的收益。这也是为什么幻影刺客通常不出大炮和蝴蝶的原因。


提到“闪避”，就不得不提“闪避”的宿敌“金箍棒”。在某次版本更新时，金箍棒的效果从100%必中削弱至75%，与闪避的克制公式更加扑朔迷离。


在装备金箍棒的英雄分别攻击装备蝴蝶的普通英雄、没有装备蝴蝶的幻影刺客和装备蝴蝶的幻影刺客时，各自的闪避几率分别为8.75%、12.5%和16.875%。蝴蝶在面对金箍棒时效果从35%降低至8.75%和4.375%，甚至还不如辉耀附加的闪避效果，可以说是性价比极低了。

除了《Dota2》之外，像《最终幻想14》中易伤减益与其他增益之间的效果提升也是非线性叠加的。譬如忍者的背刺提供10%易伤效果，换算得10%伤害增加；龙骑士的龙眼效果会使目标获得5%伤害增加，那么同时获得龙眼增益、背刺增益的角色将会获得1.05*1.10=1.155倍伤害增加，比1+0.1+0.05=1.15还高了0.05倍率。


非常好懂的一点在于，由于是乘法叠算，因此在倍率低于100%时（常见于命中率、闪避率、暴击率等上限100%的数值），“非线性叠加”的效果是越叠越差的，也就是常说的“边际效益递减”；反之在倍率高于100%时（常见于伤害增加等），“非线性叠加”的效果是越叠越好的，即“边际效益递增”。

“边际效益”与“等比血量”的换算

有一点要提及的是，“边际效益递减”也并不是总是等同于“效益递减”。

还是拿《Dota2》和《英雄联盟》来举例。早先，在《Dota2》的护甲减伤公式还没有彻底脱离war3公式之前，《Dota2》和《英雄联盟》的护甲减伤公式分别是：0.05*护甲/(1+0.05*护甲)，以及护甲/(100+护甲)。

（换算可得，当护甲分别为20和100时，护甲所提供的物理减伤达到50%。可以推算得《英雄联盟》的护甲的效果和5倍《Dota2》护甲是等值的，从《Dota2》公式中得出的结论与《英雄联盟》相同，因此之后将省略《英雄联盟》部分的推算。）

从公式上就可以看出护甲减伤是服从“非线性叠加”，而减伤百分比的倍率低于100%，很明显护甲收益是“边际效益递减”的。

当护甲为0时提供0%减伤，当护甲为3时提供13%减伤，约等于每点护甲提供4%减伤；

当护甲为87时提供81.31%减伤，当护甲为90时提供81.82%减伤，约等于每点护甲提供了0.16%减伤。

随着护甲不断提升，每点护甲提供减伤百分比的提升越来越少，叠护甲似乎效果越来越小……

但是！

虽然护甲减伤的收益在递减，但是换算成等比血量的提升却是相同的。根据护甲减伤公式可得每1点HP变为1/(1-0.05*护甲/(1+0.05*护甲))，等价于1*(1+0.05*护甲），即无论当前护甲有多少，每1点护甲都能提供5%的等比血量提升（《英雄联盟》中看做1点护甲提供1%等比血量提升）。

举个例子，想要达到98%减伤，需要980护甲；而想要达到99%减伤，则需要惊人的1980护甲。尽管看似这多出来的1000护甲只提供了1%的减伤，但仔细计算一下就能发现，这1000护甲能让英雄的血量翻一倍。

假设一个单位有2点血，原本需要100伤害（经过98%减免后为2点）才能杀死他，现在却需要200伤害（经过99%减免后为2点）。

也就是说，尽管护甲减伤是非线性叠加，但是护甲所提供的等比血量却是服从线性叠加的。除非对方使用魔法伤害攻击，否则在面对相同的物理伤害时，无脑堆叠护甲几乎不会是一个错误的选择。

——以上结论，目前对《英雄联盟》、以及其他使用相似公式的游戏（比如《魔兽争霸》）仍旧适用。而对新版本的《Dota2》已不再适用，因为《Dota2》在去年曾经修改过一次护甲公式，目前的护甲减伤公式为：0.052*护甲/(0.9+0.048*护甲)。

每1点HP则根据公式修改而变为1/(1-0.052*护甲/(0.9+0.048*护甲))，等价于(0.9+0.048*护甲)/(0.9-0.004*护甲)，不再服从于线性叠加，想要计算也变得相对困难起来。（下图以及等比血量公式均来自于贴吧）


不过可以看到新版的护甲减伤公式更加“奔放”，在护甲达到30时、再向上堆叠护甲将会获得巨大的减伤和等比血量提升。当护甲达到210时，等比血量提升甚至达到了惊人的18200%；当护甲达到225时，函数计算结果趋向正无穷，也就是物理免疫——这是旧版本公式达不到的一个巅峰。


护甲公式的更改使得高护甲单位和高护甲装备收益颇大，也促使了炎阳纹章这类装备的崛起。在TI9的比赛上，OG体系使这件默默无闻的装备声名鹊起，通过堆叠护甲促成“超级核心”的打法也成为TI赛场上的主流。

相信在TI比赛结束后的第一个Major中，更多有关护甲的研究会引领比赛的节奏吧。

（图片来源于网络）

作者：绯夜氏  
来源：云玩家hotspot
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